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Ableitungen

Was sind Ableitungen von Kurven?



Wenn mann eine typische Kurve anschaut, dann hat diese flachere und steilere Abschnitte. Man kann ein Lineal anlegen und diese Steilheit mit einer gewissen Genauigkeit messen. Diese Steilheit bezeichnet man als Anstieg, abgekürzt wird y' oder f '(x) geschrieben.
Man kann diesen Anstieg auch näherungsweise ausrechnen. Es gilt nämlich

f '(x) ≈ Δy / Δx,

wobei  Δx und Δy kleine Änderungen in der Nähe des Punktes sind, für den man den Anstieg benötigt.



Je kleiner man  Δx und  Δy macht, desto näher kommt man dem wirklichen Anstieg. Man kann somit diese Anstiege auch dann berechnen, wenn es sich um gar keine formelmäßige Funktion, sondern z.B. um Messwerte handelt. Man muss dabei immer einen Kompromiss finden zwischen der mathematischen Genauigkeit (Δx und  Δy sind klein) und der messtechnischen Genauigkeit (Δx und  Δy sollten deutliche größer sein als die Messfehler).

Ableitungen höheren Grades

Eine Ableitung kann man wieder ableiten, diese zweite Ableitung bezeichnet man dann als y'' bzw. f ''(y). Anschaulich ist das die Krümmung der Kurve. Noch höhere Ableitungen wie f '''(x) haben keine anschauliche Bedeutung mehr.

Wenn man höhere Ableitungen aus den Ergebnissen von numerischen Näherungsverfahren bestimmen will, dann muss man sich mit diesen Näherungen viel Mühe geben. Aus einer Messkurve lässt sich höchstens noch die zweite Ableitung mit einiger Genauigkeit bestimmen - hier kann man die Genauigkeit nicht beliebig erhöhen.

Für die formelmäßig gegebenen Zusammenhänge lassen sich Ableitungen mathematisch bestimmen, führen also wieder zu Formeln. Diese findet man im Schul-Tafelwerk. Ich benutze immer einen Online-Ableitungsrechner [1]. Der macht weniger Fehler als ich.

Eine astronomische Anwendung - Änderung der Tageslänge

Die Webseite  Sun or Moon rise set [2] gestattet es, den Sonnenaufgang und -untergang für amerikanische Städte zu berechnen. Ich habe Seattle ausgewählt, weil es genügend weit nördlich liegt und dabei stellvertretend für den deutschen Sprachraum stehen kann. Man erhält die im Anhang dargestellte Tabelle.
Mit Hilfe eines kleinen Programms habe ich die Taglängen ausgerechnet:


Es ist nun interessant zu wissen, wie sich die Tageslänge im Verlauf der Jahreszeiten ändert. Dazu kann man die Differenzen von Tag zu Tag benutzen. Das ist genaugenommen eine Ableitung, und zwar eine ungenaue, eine "einseitige". Besser ist es, für die Änderung der Tageslänge den Mittelwert der veränderung vom vorangegangen und zum nächsten Tag zu benutzen

        VT = [ LT(heute) -LT(gestern) +  LT(morgen) -LT(heute) ] /2

oder kürzer

       VT(heute) = [ LT(morgen)  - LT(gestern) ] /2

Hierbei ist LT die Tageslänge und VT die tägliche Veränderung.

Ich habe dazu ein kleines Python-Programm geschrieben. Es liest die Datei der Tageslängen ein und erzeugt daraus eine Liste mit den täglichen Veränderungen. Die Ausgabe der Webseite darf nur die Zahlen enthalten und muss "tageslaenge.txt" heißen. Hier das Programm:
	 	  
# Tageslängen einlesen
fIn = open("tageslaenge.txt")
# Tageslängen erst mal irgendwie setzen
tag=0
gestern=0
heute=0
morgen=0
# Veränderungen berechnen
for line in fIn:
    # eine Tag nachrutschen
    gestern=heute
    heute=morgen
    # Zeile in Wörter teilen
    arr = line.split(" ")
    # die beiden Werte auslesen
    morgen=float(arr[1])
    tagesnrMorgen=int(arr[0])
    # den Anstieg berechnen
    print(tagesnrMorgen-1,60*(morgen-gestern)/2.0)

Damit das Programm kurz bleibt, habe ich mich nicht darum gekümmert, dass für die ersten beiden Tage falsche Ausgaben erzeugt werden.

Grafisch dargestellt erhält man



Man sieht, dass die Kurve "zackelig" ist. Dies lieg daran, dass die Veränderung der Tageslänge nur auf die ganze Minute gegeben ist. Bei der Bildung der Ableitung ziehen wir zwei fast gleich große Zahlen voneinander ab und erhöhen damit das "Rauschen".
Dennoch enthält diese Kurve wichtige Aussagen:

Man kann nur auch die Frage stellen, zu welchen Jahreszeiten die Veränderung der Tageslänge selbst stark variabel ist. Man kann dies wieder durch Differenzenbildung errechnen, diesmal aber aus den schon zackeligen täglichen Veränderungen. Das Programm muss dafür nur ganz wenig verändert werden (anderer Dateiname). Das Ergebnis:



Nur noch Gezackel - kaum noch etwas zu erkennen. Wie ich oben schon schrieb: Um eine zweite Ableitung aus Messwerten zu berechnen, muss man sich einige Mühe machen. Entweder die Messwerte mit höherer Genauigkeit bestimmen (was nicht immer geht), oder die erste Ableitung vor der Weiterverwendung glätten.  Wer Sonnenflecken-Relativzahlen bestimmt, steht vor ganz ähnlichen Problemen.

Weitere Beispiele

Die Exponentialfunktion

Die Funktion ex ist die Exponentialfunktion. Mit ihr wird das in der Natur häufig vorkommende unbeschränkte Wachstum beschrieben. Es gilt:
        f '( ex) =  ex
Damit haben alle weitere Ableitungen auch den Wert  ex.

Die Sinusfunktion

Es gilt
    f '(sin(x)) = cos(x)
    f ''(sin(x)) = -sin(x)
    f ''(sin(x)) = -cos(x)
    f '''(sin(x)) = sin(x)

Nach vier Mal ist "die Runde rum".

Literatur

[1] www.ableitungsrechner.net
[2] aa.usno.navy.mil/data/docs/RS_OneYear.php (Uwe Pilz, Dezember 2018)
=====================================

Anhang

Tabelle der Tageslänge für Seattle

	  
               o  ,    o  ,                                 SEATTLE, WASHINGTON                          Astronomical Applications Dept.
Location: W122 20, N47 38                          Rise and Set for the Sun for 2018                   U. S. Naval Observatory        
                                                                                                       Washington, DC  20392-5420     
                                                         Pacific Standard Time                                                        
                                                                                                                                      
                                                                                                                                      
       Jan.       Feb.       Mar.       Apr.       May        June       July       Aug.       Sept.      Oct.       Nov.       Dec.  
Day Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set  Rise  Set
     h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m   h m  h m
01  0758 1629  0736 1711  0650 1754  0548 1839  0452 1922  0416 1959  0416 2011  0447 1944  0528 1849  0609 1748  0654 1652  0737 1620
02  0758 1630  0734 1712  0648 1756  0546 1841  0450 1923  0415 2000  0416 2010  0448 1942  0529 1848  0610 1746  0655 1650  0738 1619
03  0758 1631  0733 1714  0646 1757  0544 1842  0449 1924  0414 2001  0417 2010  0450 1941  0531 1846  0611 1744  0657 1648  0739 1619
04  0757 1632  0732 1715  0644 1759  0542 1844  0447 1926  0414 2002  0418 2010  0451 1939  0532 1844  0613 1742  0658 1647  0740 1619
05  0757 1633  0730 1717  0642 1800  0540 1845  0446 1927  0413 2003  0418 2009  0452 1938  0533 1842  0614 1740  0700 1646  0742 1618
06  0757 1634  0729 1719  0640 1802  0538 1847  0444 1929  0413 2004  0419 2009  0453 1936  0535 1840  0616 1738  0701 1644  0743 1618
07  0757 1635  0727 1720  0638 1803  0536 1848  0443 1930  0413 2004  0420 2008  0455 1935  0536 1837  0617 1736  0703 1643  0744 1618
08  0756 1636  0726 1722  0636 1805  0534 1849  0441 1931  0412 2005  0421 2008  0456 1933  0537 1835  0618 1734  0704 1641  0745 1618
09  0756 1637  0724 1723  0634 1806  0532 1851  0440 1933  0412 2006  0422 2007  0457 1931  0539 1833  0620 1732  0706 1640  0746 1618
10  0756 1639  0723 1725  0632 1808  0530 1852  0438 1934  0412 2006  0422 2007  0459 1930  0540 1831  0621 1731  0707 1639  0747 1618
11  0755 1640  0721 1727  0630 1809  0528 1854  0437 1935  0411 2007  0423 2006  0500 1928  0541 1829  0623 1729  0709 1637  0748 1618
12  0755 1641  0720 1728  0628 1811  0526 1855  0436 1937  0411 2007  0424 2005  0501 1926  0543 1827  0624 1727  0710 1636  0749 1618
13  0754 1643  0718 1730  0626 1812  0524 1856  0434 1938  0411 2008  0425 2004  0503 1925  0544 1825  0625 1725  0712 1635  0749 1618
14  0753 1644  0716 1731  0624 1814  0522 1858  0433 1939  0411 2009  0426 2004  0504 1923  0545 1823  0627 1723  0713 1634  0750 1618
15  0753 1645  0715 1733  0622 1815  0520 1859  0432 1940  0411 2009  0427 2003  0505 1921  0547 1821  0628 1721  0715 1633  0751 1618
16  0752 1647  0713 1734  0620 1817  0518 1901  0430 1942  0411 2009  0428 2002  0507 1920  0548 1819  0630 1719  0716 1632  0752 1618
17  0751 1648  0711 1736  0618 1818  0517 1902  0429 1943  0411 2010  0429 2001  0508 1918  0550 1817  0631 1717  0718 1630  0752 1619
18  0751 1650  0710 1738  0616 1819  0515 1903  0428 1944  0411 2010  0430 2000  0509 1916  0551 1815  0633 1715  0719 1629  0753 1619
19  0750 1651  0708 1739  0614 1821  0513 1905  0427 1945  0411 2010  0431 1959  0511 1914  0552 1813  0634 1714  0721 1628  0754 1619
20  0749 1652  0706 1741  0612 1822  0511 1906  0426 1947  0411 2011  0433 1958  0512 1912  0554 1811  0636 1712  0722 1627  0754 1620
21  0748 1654  0704 1742  0610 1824  0509 1908  0425 1948  0411 2011  0434 1957  0513 1911  0555 1809  0637 1710  0723 1627  0755 1620
22  0747 1655  0703 1744  0608 1825  0507 1909  0424 1949  0412 2011  0435 1956  0515 1909  0556 1807  0639 1708  0725 1626  0755 1621
23  0746 1657  0701 1745  0606 1827  0506 1911  0423 1950  0412 2011  0436 1955  0516 1907  0558 1805  0640 1706  0726 1625  0756 1621
24  0745 1658  0659 1747  0604 1828  0504 1912  0422 1951  0412 2011  0437 1954  0517 1905  0559 1803  0642 1705  0728 1624  0756 1622
25  0744 1700  0657 1748  0602 1829  0502 1913  0421 1952  0413 2011  0438 1953  0519 1903  0600 1801  0643 1703  0729 1623  0757 1623
26  0743 1701  0655 1750  0600 1831  0500 1915  0420 1953  0413 2011  0440 1951  0520 1901  0602 1759  0645 1701  0730 1623  0757 1623
27  0742 1703  0653 1751  0558 1832  0459 1916  0419 1954  0414 2011  0441 1950  0521 1859  0603 1757  0646 1700  0732 1622  0757 1624
28  0741 1704  0651 1753  0556 1834  0457 1918  0418 1955  0414 2011  0442 1949  0523 1857  0604 1754  0648 1658  0733 1621  0757 1625
29  0739 1706             0554 1835  0455 1919  0418 1956  0415 2011  0443 1948  0524 1855  0606 1752  0649 1656  0734 1621  0757 1626
30  0738 1708             0552 1837  0454 1920  0417 1957  0415 2011  0444 1946  0525 1853  0607 1750  0651 1655  0736 1620  0758 1627
31  0737 1709             0550 1838             0416 1958             0446 1945  0527 1851             0652 1653             0758 1627

                                             Add one hour for daylight time, if and when in use.

Tageslänge in Stunden, Tage vom 1.1. an durchgezählt

	
1 8.51667
2 8.53333
3 8.55
4 8.58333
5 8.6
6 8.61667
7 8.63333
8 8.66667
9 8.68333
10 8.71667
11 8.75
12 8.76667
13 8.81667
14 8.85
15 8.86667
16 8.91667
17 8.95
18 8.98333
19 9.01667
20 9.05
21 9.1
22 9.13333
23 9.18333
24 9.21667
25 9.26667
26 9.3
27 9.35
28 9.38333
29 9.45
30 9.5
31 9.53333
32 9.58333
33 9.63333
34 9.68333
35 9.71667
36 9.78333
37 9.83333
38 9.88333
39 9.93333
40 9.98333
41 10.0333
42 10.1
43 10.1333
44 10.2
45 10.25
46 10.3
47 10.35
48 10.4167
49 10.4667
50 10.5167
51 10.5833
52 10.6333
53 10.6833
54 10.7333
55 10.8
56 10.85
57 10.9167
58 10.9667
59 11.0333
60 11.0667
61 11.1333
62 11.1833
63 11.25
64 11.3
65 11.3667
66 11.4167
67 11.4833
68 11.5333
69 11.6
70 11.65
71 11.7167
72 11.7667
73 11.8333
74 11.8833
75 11.95
76 12
77 12.05
78 12.1167
79 12.1667
80 12.2333
81 12.2833
82 12.35
83 12.4
84 12.45
85 12.5167
86 12.5667
87 12.6333
88 12.6833
89 12.75
90 12.8
91 12.85
92 12.9167
93 12.9667
94 13.0333
95 13.0833
96 13.15
97 13.2
98 13.25
99 13.3167
100 13.3667
101 13.4333
102 13.4833
103 13.5333
104 13.6
105 13.65
106 13.7167
107 13.75
108 13.8
109 13.8667
110 13.9167
111 13.9833
112 14.0333
113 14.0833
114 14.1333
115 14.1833
116 14.25
117 14.2833
118 14.35
119 14.4
120 14.4333
121 14.5
122 14.55
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