Fixpunktiteration für nicht auflösbare Gleichungen

Nicht alle formelmäßig gegebenen Gleichungen lassen sich nach der gewünbschten Variablen auflösen. Das prominente Beispiel der Astronomie ist die Keplergleichung, welche den Zusammenhang mit der leicht berechenbaren Mittleren Anomalie M und dem wirklichen Ort in der Bahn, der exzentrischen Anomalie E angibt.
M = E - e · sin E
Hier ist e die Exzentrizät. Diese Gleichung lässt sich nicht nach E auflösen.

Die Fixpunktiteration ist ein Näherungsverfahren, welches an die wirklichen Lösung schrittweise herankommt. Dazu wird die Gleichung nur teilweise nach der Zielvariable umgestellt. Für die Keplergleichung gibt es zwei Möglichkeiten:
E = M + e · sin E
und
E = arcsin ( (E-M)/e )
Meist ist nur eine der Umstellungen geeignet. Als Startwert setzt man E = M.

Ein Beispiel einer Planetenbahn, e=0,2488 (Pluto), M sei 90 Grad = π/2. Die erste Formel gibt die Folge
        1,81959
        1,81193
        1,81239
        1,81237
        (angegebene Stellen bleiben konstant)
Diese Formel konvergiert gegen 1,81237, im Gradmaß sind das 103,84°.

Die zweite Formel ist für Pluto ungeeignet: In der ersten Rund wird E=0 berechnet (weil ja E=M ist), und in der zweiten Runde scheitert der Computer an der Berechnung des Arkussinus von -M/e = 6.3: Diese Funktion ist nur für Argumente zwischen -1 und 1 definiert.

(Uwe Pilz, Dezember 2018)