Widerstandbeiwert (zur Berechnung des Luftwiderstandes)

Berechnungen über die Bewegung von Raumflugkörpern oder das Eindringen von Kleinkörpern in die Atmosphäre erfordern die Berechnung des Luftwiederstandes. Dies kann durch Computer-Simulationen erfolgen, welche aber von numerischen Problemen geprägt sind.

Hermann Schlichting hat 1951 eine Zusammenstellung von Messwerten für Kugeln angegeben, welche bis heute Bestand hat und zitiert wird. Bekannt sein muss die sog. Reynolds-Zahl, gegeben wird der Widerstandsbeiwert , aus welchem sich die Kraft auf eine kugelförmigen Körper berechnen lässt.

widerstandsbeiwert

In diese fast 100 Messwerte hat er eine vermittelnde Linie gezogen, per Hand seinerzeit. Dies lässt sich in Computerprogrammen nicht benutzen. Ich gebe deshalb hier einen Rechenvorschrift an, welche diese Kurve widergibt (unterer Teil der Grafik). Der Definitionsbereich ist nicht beschränkt. Für sehr kleine Reynold-Zahlen ist das durch die Stokes-Theorie gedeckt. Für die Berechnung der Beiwerte für Reynold-Zahlen über 1 Mio. habe ich die Linie der Schlichting-Grafik verlängert. Diese Ergebnis sind also cum grano salis zu genießen.

Angenähert wird die Kurve stückweise durch Polynome 5. Grades. An den Verbindungsstellen gibt es kleine Knicke: Dort kann man die Näherung nicht zur Gewinnung einer Ableitung benutzen, falls das mal jemand braucht.

Das Python-Programm benutzt sowohl die Reynold-Zahl als auch den Beiwert als dekadischen Logaithmus.

def widerstandsbeiwert(logRe):
    x=logRe # x und y schreibt sich kürzer
    y=log10(24/(10**logRe)) # Stokes-Theorie
    if logRe>-1:
        y = 1.40155749 + x * ( -0.840641132 + x * ( 0.0896787967 + x * ( -0.0292258306 + x * ( 0.0144222117 + x * ( -0.00164200185 )))))
    if logRe>5.3:
        y = -1630.24931 + x * ( -5914.41512 + x * ( 5209.5809 + x * ( -1576.67746 + x * ( 207.826016 + x * ( -10.1901046 )))))
    if logRe>5.46:
        y = 89200.4601 + x * ( -49368.7307 + x * ( 7274.09333 + x * ( 470.891367 + x * ( -193.081415 + x * ( 12.0453564 )))))
    if logRe>5.7:
        y=0.6013535*x-4.4603250 # Ist durch keine Theorie gedeckt, nur durch den Strich in Schlichting angedeutet
    logWBW=y
    return logWBW

Uwe Pilz, Oktober 2023