Wenn man die Bewegung von Körpern durch die Erdatmosphäre berechnet möchte, benötigt man den die Dichte der Luft, da sich die Bremswirkung erhöht, wenn die Dichte zunimmt. Astronomische Beispiele für solche Körper sind Meteore bzw. Meteorite und Raumflugkörper beim Wiedereintritt.
Die Dichte der Atmosphäre erhöht sich, von außen kommend, exponentiell. Der Grund dafür ist, dass die Luft komprimierbar ist. Zur Erde zu hat man nicht nur mehr Luftmassen übersich, sondern zunehmend dichtere. Auf dieser Seite möchte ich Formeln angeben, mit dennen sich diese Dichte-Abhängigkeit unkompliziert berechnen lässt.
Vie benutzt wird sog.
U.S. Standard-Atmosphäre von 1976 . Ich gebe die Tabelle hier an:
h(m) T(°C) g(m/s²) ρ(kg/m³)
-1000 21.50 9.810 1.347
0 15.00 9.807 1.225
1000 8.50 9.804 1.112
2000 2.00 9.801 1.007
3000 -4.49 9.797 0.9093
4000 -10.98 9.794 0.8194
5000 -17.47 9.791 0.7364
6000 -23.96 9.788 0.6601
7000 -30.45 9.785 0.5900
8000 -36.94 9.782 0.5258
9000 -43.42 9.779 0.4671
10000 -49.90 9.776 0.4135
15000 -56.50 9.761 0.1948
20000 -56.50 9.745 0.08891
25000 -51.60 9.730 0.04008
30000 -46.64 9.715 0.01841
40000 -22.80 9.684 3.996e-3
50000 -2.5 9.654 1.027e-3
60000 -26.13 9.624 3.097e-4
70000 -53.57 9.594 8.283e-5
80000 -74.51 9.564 1.846e-5
Ich habe die Dichte dieser Tabelle durch eine Ausgleichsrechnung angenähert:
log(ρ) = 6.07149e-5 · h +0.1113988
Hiermit kann man die Dichte bis in 100 oder vielleicht auch 150 km Höhe gut abbilden.
~
In der Wikipedia ist eine Grafik gegeben, welche die Luftdichte ebenfalls darstellt. Die Quelle Allgemeine Meteorologie Nr. 1, Selbstverlag des Deutschen Wetterdienstes, Offenbach, 1987, ist mir leider nicht zugänglich, ich musste die Daten aus dem Diaggramm entnehmen. Diese Quelle berücksichtigt die äußere Atmosphäre jenseits von 200 km Höhe. Dort draußen fällt dic Dichte langsamer ab als in den inneren Atmosphärenschichten.
Im Original ist die Luftdichte die unabhängige Variable, daraus kann die Höhe berechnet werden. Die Frage hier ist anders: In welcher Höhe herrscht welche Luftdichte? Ich habe deshalb die Kurve gedreht:
Die Dichte ist hier als Logarithmus angegeben. 0 bedeutet ρ=100 kg/m³, also etwa 1 kg/m³ – in etwa der Wert in Bodennähe. In 100 km Höhe ist das schon etwa 10-8 kg/m³, also nur noch 10 µg/m³. Dennoch ist das so hoch, dass es Satelliten beeinflusst. Stabile, langfristige Bahnen sind erst ab etwa 200 km Höhe möglich.
Für die Benutzung in einem Computerprogramm muss man dies irgendwie in eine Formel bringen. In geschlossener Form ist das schwer. Ich habe die Kurve deshalb in drei Abschnitte unterteilt:
Die Formeln (Höhe h jeweils in km einsetzen):
Ich habe ein kleines Python-Programm geschrieben, was diese Formel enthält und eine Liste zwischen h=0 und h=600 m ausgibt. Hieraus kann man eine Grafik herstellen:
Ein kleiner Knick ist zu sehen beim Übergang vom Polynom auf die großen Höhen, aber insgesamt sieht es ganz brauchbar aus. Zum Schluss noch das Python-Programm:
# Funktion für die Luftdichte
from math import *
def luftdichte(h):
if h<100: return-0.064301*h
if h>250: return -0.0057144*h-8.571
return -1.4865e-6*h*h*h+9.642e-4*h*h-0.216275*h+7
# eine Liste ausgeben
h=0
for i in range (300):
print(h, luftdichte(h))
h=h+2
Diese Variante der Luftdichte gibt für h=0 einen Wert von 1 aus: Das ist natürlich zu wenig. Dafür stimmt das Verhalten bis in große Höhen zumindest mit der Grafik überein.
Uwe Pilz, Oktober 2019 und 2023